Soal dan Pembahasan Matematika bab pola bilangan dan deret
1. Dari suatu barisan aritmetika, suku ketiga adalah 36, jumlah suku
ke-lima dan ke-tujuh adalah 144.Jumlah sepuluh suku pertama deret tersebut
adalah …
A. 840
B. 660
C. 640
D. 630
PEMBAHASAN
un = a + (n – 1)b
u3 = a + 2b = 36 … (i)
u5 + u7 = 144
(a + 4b) + (a + 6b) = 144
2a + 10b = 144 (kalikan ½)
a + 5b = 72 … (ii)
dari (i) dan (ii) diperoleh :
a + 5b = 72
(36 – 2b) + 5b = 72
3b = 36 => b = 12
Kemudian substitusi nilai b ke salah satu persamaan (misal persamaan (i)), sehingga diperoleh :
a = 36 – 2b = 36 – 2(12) = 12
Setelah nilai a dan b kita dapatkan, kemudian kita mencari nilai dari S10 :
Sn= (2a + ( n – 1 )b)
S10 = (2(12) + ( 10 – 1 )12)
= 5 (24 + (9)12)
= 5 (24 + 108)
= 5 (132) = 660
JAWABAN : B
2. Seorang ibu membagikan permen kepada 5 orang anaknya menurut aturan deretaritmetika. Semakin muda usia anak semakin banyak permen yang diperoleh. Jika banyak permen yang diterima anak kedua 11 buah dan anak keempat 19 buah, maka jumlahseluruhpermenadalah … buah
A. 60
B. 65
C. 70
D. 75
PEMBAHASAN :
u2 = a + b = 11 … (i)
u4 = a + 3b = 19 … (ii)
substitusipersamaan (i) kepersamaan (ii), makadiperoleh :
(11 – b) + 3b = 19
2b = 8 => b = 4
Kemudiansubstitusinilai b tersebutsalahsatupersamaan (misalpersamaan (i)) sehinggamenjadi :
a = 11 – b = 11 – 4 = 7
Setelahnilai a dan b kitaperoleh, kemudiansubstitusinilaitersebutkerumusnya :
Sn= (2a + (n – 1)b)
S5 = (2(7) + (5 – 1)4)
= (14 + (4)4)
= (14 + 16)
= (30) = 75
JAWABAN : D
3. Seorang anak menabung di suatu bank dengan selisih kenaikan tabungan antar bulan tetap.Pada bulan pertama sebesar Rp. 50.000,00, bulan kedua Rp.55.000,00, bulan ketiga Rp.60.000,00, dan seterusnya. Besarta bunga anak tersebu tselama dua tahun adalah …
A. Rp. 1.315.000,00
B. Rp. 1.320.000,00
C. Rp. 2.040.000,00
D. Rp. 2.640.000,00
PEMBAHASAN :
u1 = a = Rp. 50.000,00
u2 = Rp. 55.000,00
u3 = Rp. 60.000,00
b = u2 – u1 = Rp. 55.000,00 – Rp. 50.000,00 = Rp. 5.000,00
2tahun = 24 bulan, jadi n = 24
Sn= (2a + (n – 1)b)
S24 = (2(50.000) + (24 – 1)5.000)
= 12 (100.000 + 23(50.000))
= 12 (100.000 + 115.000)
= 12 (215.000) = 2.640.000
JAWABAN :D
4. Dari suatu deret aritmetika diketahui u3 = 13 dan u7 = 29. Jumlah dua puluh lima suku deret pertama adalah …
A. 3.250
B. 2.650
C. 1.625
D. 1.325
PEMBAHASAN :
u3 = a + 2b = 13 … (i)
u7 = a + 6b = 29 … (ii)
substitusi (i) ke (ii), sehingga menjadi :
(13 – 2b) + 6b = 29
4b = 16 => b = 4
Kemudian nilai b disubstitusi kesalah satu persamaan (misal persamaan (i)), sehingga diperoleh :
a = 13 – 2b = 13 – 2(4) = 5
Sn= (2a + (n – 1)b)
S25 = (2(5) + (25 – 1)4)
= (10 + (24)4)
= (10 + 96)
= (106)
= 25.53 = 1.325
JAWABAN : D
5.Suku ke – n suatu deret aritmetika un = 3n – 5. Rumus jumlah n suku pertama deret tersebut adalah …
A. Sn = n/2 (3n – 7)
B. Sn = n/2 (3n – 5)
C. Sn = n/2 (3n – 4)
D. Sn = n/2 (3n – 3)
PEMBAHASAN :
Rumus untuk jumlah suku pertama ke-n barisan aritmatika adalah Sn = (2a + (n – 1)b) atau Sn = (a + un). Karena suku ke-n atau un diketahui, maka kita gunakan rumus yang kedua untuk mencari rumus jumlah suku pertama ke-n.
un = 3n – 5
u1 = 3(1) – 5 = -2
Sn= (a + un)
= (-2 + 3n – 5)
= (3n – 7)
JAWABAN : A
6.Jumlah n buah suku pertama deret aritmetika dinyatakan oleh Sn= (5n – 19). Beda deret tersebut adalah …
A. -5
B. -3
C. -2
D.5
PEMBAHASAN :
S1 = (5(1) – 19) = -7
S1 = u1 = a = suku pertama
S2 = latex \frac{2}{2}$ (5(2) – 19) = -9
S2 = u1 + u2 = a + (a + b)
= -7 + (-7 + b) = -9
b = -9 + 14 = 5
JAWABAN :D
7.Empat buah bilangan positif membentuk barisan aritmatika. Jika perkalian bilangan pertama dan keempata adalah 46, dan perkalian bilangan kedua dan ketiga adalah 144, maka jumlah keempat bilangan tersebut adalah …
A. 49
B. 50
C. 60
D. 95
PEMBAHASAN :
u1.u4 = a(a + 3b) = a2 + 3ab = 46 … (i)
u2.u3 = (a + b)(a + 2b) = a2 + 3ab + 2b2 = 144 … (ii)
subsitusi (i) ke (ii), sehingga menjadi :
a2 + 3ab + 2b2 = 46 + 2b2 = 144
2b2 = 98
b2 = 49 => b = 7
substitusinilai b kepersamaan (i) :
a2 + 3a(7) = 46
a2 + 21a – 46 = 0
(a + 23)(a – 2) = 0
a = -23 atau a = 2
untuk a = -23
S4 = (2(-23) + (4 – 1)7)
= 2(-26 + 21)
= 2(-5) = 10
untuk a = 2
S4 = (2(2) + (4 – 1)7)
= 2(4 + 21)
= 2(25) = 50
JAWABAN : B
8.Jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah Sn = n2 + 5/2 n. Beda dari deret aritmetika tersebut adalah …
A. -11/2
B. -2
C. 2
D. 5/2
PEMBAHASAN :
Sn = n2 + 5/2 n
S1 = (1)2 + 5/2 (1) = 7/2
S1 = u1 = a
S2 = (2)2 + 5/2 (2) = 9
S2 = u1 + u2 = a + (a + b)
9 = 7/2 + (7/2 + b)
9 – 7 = b
2 = b
JAWABAN : C
9.Dari deret aritmetika diketahui suku tengah 32. Jika jumlah n suku pertama deret itu 672, banyak suku deret ersebut adalah …
A. 17
B. 19
C. 21
D. 23
PEMBAHASAN :
ut = ½(a + un) = 32
a + un = 32(2)
a + un = 64
Sn= (a + un)
672 = (64)
672 = n (32)
21 = n
JAWABAN : C
10.Sebuah mobil dibeli dengan harga Rp. 80.000.000,00. Setiap tahun nilai jualnya menjadi ¾ dari harga sebelumnya.Berapa nilai jual setelah dipakai 3 tahun ?
A. Rp. 20.000.000,00
B. Rp. 25.312.500,00
C. Rp. 33.750.000,00
D. Rp. 35.000.000,00
PEMBAHASAN :
Kata kunci dalam soal ini adalah “Setiap tahun nilai jualnya menjadi 3/4 dari harga sebelumnya”, ini artinya rasionya 3/4 dan termasuk dalam deretgeometri.
Yang jadi pertanyaannya adalah suku ke-4 dengan a = 80.000.000
u4 = ar3 = 80.000.000(3/4)3 = 33.750.000
JAWABAN : C
A. 840
B. 660
C. 640
D. 630
PEMBAHASAN
un = a + (n – 1)b
u3 = a + 2b = 36 … (i)
u5 + u7 = 144
(a + 4b) + (a + 6b) = 144
2a + 10b = 144 (kalikan ½)
a + 5b = 72 … (ii)
dari (i) dan (ii) diperoleh :
a + 5b = 72
(36 – 2b) + 5b = 72
3b = 36 => b = 12
Kemudian substitusi nilai b ke salah satu persamaan (misal persamaan (i)), sehingga diperoleh :
a = 36 – 2b = 36 – 2(12) = 12
Setelah nilai a dan b kita dapatkan, kemudian kita mencari nilai dari S10 :
Sn= (2a + ( n – 1 )b)
S10 = (2(12) + ( 10 – 1 )12)
= 5 (24 + (9)12)
= 5 (24 + 108)
= 5 (132) = 660
JAWABAN : B
2. Seorang ibu membagikan permen kepada 5 orang anaknya menurut aturan deretaritmetika. Semakin muda usia anak semakin banyak permen yang diperoleh. Jika banyak permen yang diterima anak kedua 11 buah dan anak keempat 19 buah, maka jumlahseluruhpermenadalah … buah
A. 60
B. 65
C. 70
D. 75
PEMBAHASAN :
u2 = a + b = 11 … (i)
u4 = a + 3b = 19 … (ii)
substitusipersamaan (i) kepersamaan (ii), makadiperoleh :
(11 – b) + 3b = 19
2b = 8 => b = 4
Kemudiansubstitusinilai b tersebutsalahsatupersamaan (misalpersamaan (i)) sehinggamenjadi :
a = 11 – b = 11 – 4 = 7
Setelahnilai a dan b kitaperoleh, kemudiansubstitusinilaitersebutkerumusnya :
Sn= (2a + (n – 1)b)
S5 = (2(7) + (5 – 1)4)
= (14 + (4)4)
= (14 + 16)
= (30) = 75
JAWABAN : D
3. Seorang anak menabung di suatu bank dengan selisih kenaikan tabungan antar bulan tetap.Pada bulan pertama sebesar Rp. 50.000,00, bulan kedua Rp.55.000,00, bulan ketiga Rp.60.000,00, dan seterusnya. Besarta bunga anak tersebu tselama dua tahun adalah …
A. Rp. 1.315.000,00
B. Rp. 1.320.000,00
C. Rp. 2.040.000,00
D. Rp. 2.640.000,00
PEMBAHASAN :
u1 = a = Rp. 50.000,00
u2 = Rp. 55.000,00
u3 = Rp. 60.000,00
b = u2 – u1 = Rp. 55.000,00 – Rp. 50.000,00 = Rp. 5.000,00
2tahun = 24 bulan, jadi n = 24
Sn= (2a + (n – 1)b)
S24 = (2(50.000) + (24 – 1)5.000)
= 12 (100.000 + 23(50.000))
= 12 (100.000 + 115.000)
= 12 (215.000) = 2.640.000
JAWABAN :D
4. Dari suatu deret aritmetika diketahui u3 = 13 dan u7 = 29. Jumlah dua puluh lima suku deret pertama adalah …
A. 3.250
B. 2.650
C. 1.625
D. 1.325
PEMBAHASAN :
u3 = a + 2b = 13 … (i)
u7 = a + 6b = 29 … (ii)
substitusi (i) ke (ii), sehingga menjadi :
(13 – 2b) + 6b = 29
4b = 16 => b = 4
Kemudian nilai b disubstitusi kesalah satu persamaan (misal persamaan (i)), sehingga diperoleh :
a = 13 – 2b = 13 – 2(4) = 5
Sn= (2a + (n – 1)b)
S25 = (2(5) + (25 – 1)4)
= (10 + (24)4)
= (10 + 96)
= (106)
= 25.53 = 1.325
JAWABAN : D
5.Suku ke – n suatu deret aritmetika un = 3n – 5. Rumus jumlah n suku pertama deret tersebut adalah …
A. Sn = n/2 (3n – 7)
B. Sn = n/2 (3n – 5)
C. Sn = n/2 (3n – 4)
D. Sn = n/2 (3n – 3)
PEMBAHASAN :
Rumus untuk jumlah suku pertama ke-n barisan aritmatika adalah Sn = (2a + (n – 1)b) atau Sn = (a + un). Karena suku ke-n atau un diketahui, maka kita gunakan rumus yang kedua untuk mencari rumus jumlah suku pertama ke-n.
un = 3n – 5
u1 = 3(1) – 5 = -2
Sn= (a + un)
= (-2 + 3n – 5)
= (3n – 7)
JAWABAN : A
6.Jumlah n buah suku pertama deret aritmetika dinyatakan oleh Sn= (5n – 19). Beda deret tersebut adalah …
A. -5
B. -3
C. -2
D.5
PEMBAHASAN :
S1 = (5(1) – 19) = -7
S1 = u1 = a = suku pertama
S2 = latex \frac{2}{2}$ (5(2) – 19) = -9
S2 = u1 + u2 = a + (a + b)
= -7 + (-7 + b) = -9
b = -9 + 14 = 5
JAWABAN :D
7.Empat buah bilangan positif membentuk barisan aritmatika. Jika perkalian bilangan pertama dan keempata adalah 46, dan perkalian bilangan kedua dan ketiga adalah 144, maka jumlah keempat bilangan tersebut adalah …
A. 49
B. 50
C. 60
D. 95
PEMBAHASAN :
u1.u4 = a(a + 3b) = a2 + 3ab = 46 … (i)
u2.u3 = (a + b)(a + 2b) = a2 + 3ab + 2b2 = 144 … (ii)
subsitusi (i) ke (ii), sehingga menjadi :
a2 + 3ab + 2b2 = 46 + 2b2 = 144
2b2 = 98
b2 = 49 => b = 7
substitusinilai b kepersamaan (i) :
a2 + 3a(7) = 46
a2 + 21a – 46 = 0
(a + 23)(a – 2) = 0
a = -23 atau a = 2
untuk a = -23
S4 = (2(-23) + (4 – 1)7)
= 2(-26 + 21)
= 2(-5) = 10
untuk a = 2
S4 = (2(2) + (4 – 1)7)
= 2(4 + 21)
= 2(25) = 50
JAWABAN : B
8.Jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah Sn = n2 + 5/2 n. Beda dari deret aritmetika tersebut adalah …
A. -11/2
B. -2
C. 2
D. 5/2
PEMBAHASAN :
Sn = n2 + 5/2 n
S1 = (1)2 + 5/2 (1) = 7/2
S1 = u1 = a
S2 = (2)2 + 5/2 (2) = 9
S2 = u1 + u2 = a + (a + b)
9 = 7/2 + (7/2 + b)
9 – 7 = b
2 = b
JAWABAN : C
9.Dari deret aritmetika diketahui suku tengah 32. Jika jumlah n suku pertama deret itu 672, banyak suku deret ersebut adalah …
A. 17
B. 19
C. 21
D. 23
PEMBAHASAN :
ut = ½(a + un) = 32
a + un = 32(2)
a + un = 64
Sn= (a + un)
672 = (64)
672 = n (32)
21 = n
JAWABAN : C
10.Sebuah mobil dibeli dengan harga Rp. 80.000.000,00. Setiap tahun nilai jualnya menjadi ¾ dari harga sebelumnya.Berapa nilai jual setelah dipakai 3 tahun ?
A. Rp. 20.000.000,00
B. Rp. 25.312.500,00
C. Rp. 33.750.000,00
D. Rp. 35.000.000,00
PEMBAHASAN :
Kata kunci dalam soal ini adalah “Setiap tahun nilai jualnya menjadi 3/4 dari harga sebelumnya”, ini artinya rasionya 3/4 dan termasuk dalam deretgeometri.
Yang jadi pertanyaannya adalah suku ke-4 dengan a = 80.000.000
u4 = ar3 = 80.000.000(3/4)3 = 33.750.000
JAWABAN : C
Komentar
Posting Komentar